试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC⊥AD于F，交⊙O于点E，BE交AD与G，∠BED=∠C．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）求证：2DE2=AD·AG；
（3）若OA=6，AC=8，求cos∠D的值．
答案
（1）证明：∵∠BAD=∠DEB，青果学院
而∠BED=∠C，
∴∠C=∠BAD，
∵OC⊥AD，
∴∠CFA=90°，即∠C+∠CAF=90°，
∴∠BAD+∠CAF=90°，即∠CAB=90°，
∴AB⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）连结AE，如图，
∵OC⊥AD，
∴AF=DF，弧DE=弧AE，
∴DE=AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA=90°，
而∠EAF=∠GAE，
∴△AEF∽△AGE，
∴
AE
AG
=
AF
AE
，即AE2=AF·AG，
∴DE2=
1
2
AD·AG，
即2DE2=AD·AG；
（3）解：在Rt△ABC中，OC=
AC2+OA2
=10，
∵
1
2
AF·OC=
1
2
AC·AO，
∴AF=
AC·OA
OC
=
24
5
，
在Rt△OAF中，OF=
OA2-AF2
=
18
5
，
∴EF=OE-OF=6-
18
5
=
12
5
，
在Rt△AFE中，AE=
AF2+EF2
=
12
5
5
，
∴cos∠EAF=
AF
AE
=
2
5
5
，
而∠D=∠EAD，
∴cos∠D=
2
5
5
．
（1）证明：∵∠BAD=∠DEB，青果学院
而∠BED=∠C，
∴∠C=∠BAD，
∵OC⊥AD，
∴∠CFA=90°，即∠C+∠CAF=90°，
∴∠BAD+∠CAF=90°，即∠CAB=90°，
∴AB⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）连结AE，如图，
∵OC⊥AD，
∴AF=DF，弧DE=弧AE，
∴DE=AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA=90°，
而∠EAF=∠GAE，
∴△AEF∽△AGE，
∴
AE
AG
=
AF
AE
，即AE2=AF·AG，
∴DE2=
1
2
AD·AG，
即2DE2=AD·AG；
（3）解：在Rt△ABC中，OC=
AC2+OA2
=10，
∵
1
2
AF·OC=
1
2
AC·AO，
∴AF=
AC·OA
OC
=
24
5
，
在Rt△OAF中，OF=
OA2-AF2
=
18
5
，
∴EF=OE-OF=6-
18
5
=
12
5
，
在Rt△AFE中，AE=
AF2+EF2
=
12
5
5
，
∴cos∠EAF=
AF
AE
=
2
5
5
，
而∠D=∠EAD，
∴cos∠D=
2
5
5
．
考点梳理
切线的判定；相似三角形的判定与性质．
（1）根据圆周角定理得BAD=∠DEB，而∠BED=∠C，则∠C=∠BAD，由于∠CFA=90°，即∠C+∠CAF=90°，所以∠BAD+∠CAF=90°，即AB⊥AC，
然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连结AE，根据垂径定理得AF=DF，弧DE=弧AE，再根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠BEA=90°，根据相似三角形的判定易得△AEF∽△AGE，则
AE2=AF·AG，然后把AF=
1
2
AD，AE=DE代入即可得到结论；
（3）先根据勾股定理计算出OC=10，再利用面积法计算出AF=
24
5
，然后再在Rt△OAF中，利用勾股定计算出OF=
18
5
，则EF=OE-OF=
12
5
，再在Rt△AFE中，用勾股定理计算AE=
12
5
5
，于是可根据余弦的定义得到cos∠EAF=
2
5
5
，则利用∠D=∠EAD求解．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理和三角形相似的判定与性质．
证明题．
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