试题

如图，AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于H交⊙O于E，交AC于点F，P为ED延长线上的一点．
（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切并说明理由；
（2）当D点在劣弧AC的什么位置时，使AD²=DE·DF，并加以证明．

解：（1）当三角形PCF是个等腰三角形（∠PCF=∠PFC）时，PC与圆O相切．
证明：连接OC，则OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠AFH+∠CAO=90°，
∴∠OCA+∠AFH=90°．
∵∠PCF=∠PFC，∠AFH=∠PFC，
∴∠OCA+∠PCF=90°．
即OC⊥PC．
由于C是圆上点，因此PC是圆O的切线．

（2）D在劣弧AC的中点．
证明：连接AD，AE，
∵D是

AC

的中点，
∴

AD

=

DC

．
∴∠DAC=∠DEA．
∵∠ADF=∠EDA，
∴△ADF∽△EDA．
∴AD：DF=DE：AD．
即AD²=DE·DF．
解：（1）当三角形PCF是个等腰三角形（∠PCF=∠PFC）时，PC与圆O相切．
证明：连接OC，则OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠AFH+∠CAO=90°，
∴∠OCA+∠AFH=90°．
∵∠PCF=∠PFC，∠AFH=∠PFC，
∴∠OCA+∠PCF=90°．
即OC⊥PC．
由于C是圆上点，因此PC是圆O的切线．

（2）D在劣弧AC的中点．
证明：连接AD，AE，
∵D是

AC

的中点，
∴

AD

=

DC

．
∴∠DAC=∠DEA．
∵∠ADF=∠EDA，
∴△ADF∽△EDA．
∴AD：DF=DE：AD．
即AD²=DE·DF．