试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以AB为直径的⊙O交AC于D，E为BC的中点．
（1）求线段CD的长；
（2）求证：DE是⊙O的切线．
答案
青果学院（1）解：连接BD，如图．
∵在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=
62+82
=10（1分）
又∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
∴△BDC∽△ABC，
∴
CD
BC
=
BC
AC
，即
CD
8
=
8
10
，
∴CD=6.4；

（2）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
∵在Rt△BDC中，E为BC的中点，
∴DE=BE=
1
2
BC，
∴∠EDB=∠EBD，
又∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠EBD=90°
∴∠1+∠EDB=∠2+∠EBD=90°，即∠ODE=90°
∴ED为⊙O的切线．
青果学院（1）解：连接BD，如图．
∵在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=
62+82
=10（1分）
又∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
∴△BDC∽△ABC，
∴
CD
BC
=
BC
AC
，即
CD
8
=
8
10
，
∴CD=6.4；

（2）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
∵在Rt△BDC中，E为BC的中点，
∴DE=BE=
1
2
BC，
∴∠EDB=∠EBD，
又∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠EBD=90°
∴∠1+∠EDB=∠2+∠EBD=90°，即∠ODE=90°
∴ED为⊙O的切线．
考点梳理
切线的判定；相似三角形的判定与性质．
（1）连接BD，在Rt△ABC中，解得AC，由三角形相似求得CD，
（2）连接OD，由OD=OB，知∠1=∠2，在Rt△BDC中，E为BC的中点，求得∠EDB=∠EBD，最终证明∠ODE=90°．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
几何综合题．
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