试题

题目：
如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，E是DA延长线上一点，AB2=AE·BC，BE和CA的延长线交于点青果学院F．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知BC=18，CD=12，AF=16，求BE和AD的长．
答案
青果学院（1）证明：连接OA，OB，
∵AD∥BC，∠ABC=∠EAB，
∵AB2=AE·BE，∴
AB
AE
=
BC
AB
，∴△ABC∽△EAB
∴∠1=∠2（2分）
∵OA=OB，∴∠3=∠BAO，
∴∠O+2∠3=180°
又∵∠O=2∠2，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠1+∠3=90°
∴∠EBO=90°，∴OB⊥BF（4分）
又B点在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线（5分）

（2）解：∵AD∥BC，AB=CD，
∴AB=CD=12，
∵AB2=AE·BC，∴AE=
AB2
BC
=
144
18
=8
∵AD∥BC，∴△EFA∽△FBC，∴
AE
BC
=
FA
FC

∴FC=
FA×BC
AE
=36，∴AC=20（7分）
由（1）知△ABC∽△EAB，∴
EB
AC
=
AE
AB
，∴EB=
20×8
12
=
40
3

由△EBA∽△EBD（或由切割线定理）得EB2=EA·ED，∴ED=
200
9

∴AD=ED-EA=
128
9
（9分）
综上，EB=
40
3
，AD=
128
9
为所求．（10分）
青果学院（1）证明：连接OA，OB，
∵AD∥BC，∠ABC=∠EAB，
∵AB2=AE·BE，∴
AB
AE
=
BC
AB
，∴△ABC∽△EAB
∴∠1=∠2（2分）
∵OA=OB，∴∠3=∠BAO，
∴∠O+2∠3=180°
又∵∠O=2∠2，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠1+∠3=90°
∴∠EBO=90°，∴OB⊥BF（4分）
又B点在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线（5分）

（2）解：∵AD∥BC，AB=CD，
∴AB=CD=12，
∵AB2=AE·BC，∴AE=
AB2
BC
=
144
18
=8
∵AD∥BC，∴△EFA∽△FBC，∴
AE
BC
=
FA
FC

∴FC=
FA×BC
AE
=36，∴AC=20（7分）
由（1）知△ABC∽△EAB，∴
EB
AC
=
AE
AB
，∴EB=
20×8
12
=
40
3

由△EBA∽△EBD（或由切割线定理）得EB2=EA·ED，∴ED=
200
9

∴AD=ED-EA=
128
9
（9分）
综上，EB=
40
3
，AD=
128
9
为所求．（10分）
考点梳理
切线的判定；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OA，OB，由三角形相似证明∠1=∠2，再证∠EBO=90，即可证BE是⊙O的切线，
（2）首先由AD∥BC，求出AB、CD，由三角形相似，求出FC，由（1）知△ABC∽△EAB，求出EB，进而求出ED、AB．
本题考查了切线的判定，相似三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
几何综合题．
找相似题