试题

题目：
青果学院如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°．
（l）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=3
3
，求扇形0AC的面积．（结果保留π）
答案
（1）证明：连接OC，
∵AC=CD，且∠D=30°，青果学院
∴∠A=∠D=30°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COD=∠ACO+∠A=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴DC是⊙O的切线；

（2）由（1）得△OCD是直角三角形，
∵在Rt△OCD中，CD=3
3
，∠D=30°，
∴OC=CD tan30°=3
3
×
3
3
=3，
∴S扇形OAC=
120π×3
360
=π．
（1）证明：连接OC，
∵AC=CD，且∠D=30°，青果学院
∴∠A=∠D=30°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COD=∠ACO+∠A=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴DC是⊙O的切线；

（2）由（1）得△OCD是直角三角形，
∵在Rt△OCD中，CD=3
3
，∠D=30°，
∴OC=CD tan30°=3
3
×
3
3
=3，
∴S扇形OAC=
120π×3
360
=π．
考点梳理
切线的判定；扇形面积的计算．
（1）要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD．连接OC，由AC=CD，∠D=30°，则∠A=∠D=30°，得到∠COD=60°，所以∠OCD=90°；
（2）由（1）得△OCD是直角三角形，由特殊角的三角函数求出圆的半径再代入扇形的面积公式即可求出扇形0AC的面积．
本题考查了圆的切线的判定方法和扇形的面积公式．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．
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