试题

（2012·抚顺一模）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，P是BA延长线上的一点，直线PE经过点D且∠PDA=∠PBD．
（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果∠BDE=60°，PD=

3

，求阴影部分的面积．

解：（1）直线PD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠2+∠3=90°．
又∵OB=OD，
∴∠1=∠3．
∵∠PDA=∠PBD，即∠PDA=∠1，
∴∠2+∠PDA=90°，即PD⊥OD．
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线PD与⊙O相切．

（2）∵由（1）知，直线PD与⊙O相切，
∴∠DOB=2∠BDE=120°，
∴∠POD=60°，
又∵∠PDO=90°，PD=

3

，
∴OD=PD·cot60°=1．
∴S_阴影=S_扇形ODB-S_△ODB=

120π·12

360

-

1

2

×1×1×sin120°=

4π-3 3

12

，即阴影部分的面积是

4π-3 3

12

．
解：（1）直线PD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠2+∠3=90°．
又∵OB=OD，
∴∠1=∠3．
∵∠PDA=∠PBD，即∠PDA=∠1，
∴∠2+∠PDA=90°，即PD⊥OD．
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线PD与⊙O相切．

（2）∵由（1）知，直线PD与⊙O相切，
∴∠DOB=2∠BDE=120°，
∴∠POD=60°，
又∵∠PDO=90°，PD=

3

，
∴OD=PD·cot60°=1．
∴S_阴影=S_扇形ODB-S_△ODB=

120π·12

360

-

1

2

×1×1×sin120°=

4π-3 3

12

，即阴影部分的面积是

4π-3 3

12

．