试题

题目：
青果学院（2012·密云县一模）已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=30°，D是AB 边上一点，以AD为直径作⊙O恰过点C．
（1）求证：BC所在直线是⊙O的切线；
（2）若AD=2
3
，求弦AC的长．
答案
青果学院解：（1）证明：如图，连接OC．
则 OC=OA，∠ACO=∠A=30°． 
在△ABC中，∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=120°．
∴∠OCB=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°，
∴OC⊥BC．
∴BC是⊙O的切线；

（2）连接CD．∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AD=2
3
，
∴AC=AD·cosA=2
3
×
3
2
=3，
即弦AC的长为3．
青果学院解：（1）证明：如图，连接OC．
则 OC=OA，∠ACO=∠A=30°． 
在△ABC中，∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=120°．
∴∠OCB=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°，
∴OC⊥BC．
∴BC是⊙O的切线；

（2）连接CD．∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AD=2
3
，
∴AC=AD·cosA=2
3
×
3
2
=3，
即弦AC的长为3．
考点梳理
切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．
（1）如图，连接OC，欲证BC所在直线是⊙O的切线，只需证明OC⊥BC即可；
（2）连接CD，构建Rt△ACD，在该直角三角形中利用余弦三角函数的定义来求弦AC的长度．
本题综合考查了圆周角定理、切线的判定、解直角三角形．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
证明题．
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