试题

（2013·本溪二模）如图，已知AD是△ABC中BC边上的高，以AD为直径的⊙O分别交AB、AC于点E、F，点G是BD的中点
（1）求证，GE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AD=4，求由线段GD、GE和弧DE围成的阴影部分面积．

解：（1）连接OE，OG，
∵AD为圆O的直径，
∴∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
在Rt△BED中，EG为斜边BD的中点，
∴EG=BG=DG=

1

2

BD，
在△OEG和△ODG中，

OE=OD OG=OG EG=DG

，
∴△OEG≌△ODG（SSS），
∴∠OEG=∠ODG=90°，
则EG为圆O的切线；

（2）∵EG=BG，
∴∠BEG=∠B=30°，
∴∠EGD=60°，∠EOD=120°，
∵EG=DG，GO为∠EGD平分线，
∴OG⊥ED，
∵AD=4，
∴OE=OD=2，
∴S_弓形ED=S_扇形EOD-S_△EOD=

120π×22

360

-

1

2

×2

3

×1=

4π

3

-

3

，
则S_阴影=S_△EDG-S_弓形ED=

1

2

×6×2

3

-

4π

3

+

3

=7

3

-

4π

3

．
解：（1）连接OE，OG，
∵AD为圆O的直径，
∴∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
在Rt△BED中，EG为斜边BD的中点，
∴EG=BG=DG=

1

2

BD，
在△OEG和△ODG中，

OE=OD OG=OG EG=DG

，
∴△OEG≌△ODG（SSS），
∴∠OEG=∠ODG=90°，
则EG为圆O的切线；

（2）∵EG=BG，
∴∠BEG=∠B=30°，
∴∠EGD=60°，∠EOD=120°，
∵EG=DG，GO为∠EGD平分线，
∴OG⊥ED，
∵AD=4，
∴OE=OD=2，
∴S_弓形ED=S_扇形EOD-S_△EOD=

120π×22

360

-

1

2

×2

3

×1=

4π

3

-

3

，
则S_阴影=S_△EDG-S_弓形ED=

1

2

×6×2

3

-

4π

3

+

3

=7

3

-

4π

3

．