试题

（2013·本溪三模）如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=

1

2

，∠CAD=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC=10，求图中阴影部分的面积．

解：（1）连接OA，
∵sinB=

1

2

，∴∠B=30°，
∵∠AOD与∠B都对弧AC，
∴∠AOD=2∠B=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=90°，
则AD为圆O的切线；

（2）∵OD⊥AB，
∴OC垂直平分AB，
∴AC=BC=10，
由（1）得到△AOC为等边三角形，
∴OA=AC=10，
在Rt△OAD中，tan∠AOD=

AD

OA

，即AD=10

3

，
则S_阴影=S_△AOD-S_扇形AOC=

1

2

×10×10

3

-

60π×102

360

=50

3

-

50π

3

．
解：（1）连接OA，
∵sinB=

1

2

，∴∠B=30°，
∵∠AOD与∠B都对弧AC，
∴∠AOD=2∠B=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=90°，
则AD为圆O的切线；

（2）∵OD⊥AB，
∴OC垂直平分AB，
∴AC=BC=10，
由（1）得到△AOC为等边三角形，
∴OA=AC=10，
在Rt△OAD中，tan∠AOD=

AD

OA

，即AD=10

3

，
则S_阴影=S_△AOD-S_扇形AOC=

1

2

×10×10

3

-

60π×102

360

=50

3

-

50π

3

．