试题

（2013·房县模拟）如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=6，AB=8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求sin∠E的值．
（3）求ED的长．

（1）证明：如图，连结OD，CD，则∠BDC=90°．
∴CD⊥AB．
∵AC=BC，∴AD=BD．
∴D是AB的中点．
∵O是BC的中点，
∴DO∥AC．
∵EF⊥AC于F．
∴EF⊥DO．
∴EF是⊙O的切线．

（ 2 ）解：连结BG，
∵BC是直径，∴∠BGC=90°=∠CFE．
∴BG∥EF．
∴sin∠E=

FC

EC

=

CG

BC

．
设CG=x，则AG=6-x．
在Rt△BGA中，BG²=BC²-CG²．
在Rt△BGC中，BG²=BA²-AG²．
∴6²-x²=8²-（6-x）²．
解得：x=

2

3

．即CG=

2

3

．
在Rt△BGC中．
∴sin∠E=

CG

BC

=

2 3

6

=

1

9

．

（3）解：由题意和（2）可得，OD=3
在Rt△ODE中
sin∠E=

OD

OE

=

1

9

，
∴OE=27，
∴DE=

272-32

=12

5

．
（1）证明：如图，连结OD，CD，则∠BDC=90°．
∴CD⊥AB．
∵AC=BC，∴AD=BD．
∴D是AB的中点．
∵O是BC的中点，
∴DO∥AC．
∵EF⊥AC于F．
∴EF⊥DO．
∴EF是⊙O的切线．

（ 2 ）解：连结BG，
∵BC是直径，∴∠BGC=90°=∠CFE．
∴BG∥EF．
∴sin∠E=

FC

EC

=

CG

BC

．
设CG=x，则AG=6-x．
在Rt△BGA中，BG²=BC²-CG²．
在Rt△BGC中，BG²=BA²-AG²．
∴6²-x²=8²-（6-x）²．
解得：x=

2

3

．即CG=

2

3

．
在Rt△BGC中．
∴sin∠E=

CG

BC

=

2 3

6

=

1

9

．

（3）解：由题意和（2）可得，OD=3
在Rt△ODE中
sin∠E=

OD

OE

=

1

9

，
∴OE=27，
∴DE=

272-32

=12

5

．