试题

已知：如图，等边三角形ABC的边长为4，以它的一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）求DF的长；
（3）求图中阴影部分的面积．

证明：（1）连接DO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF为⊙O的切线；

（2）∵△OAD是等边三角形，
∴AD=AO=

1

2

AB=2，
∴CD=AC-AD=2，
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=

1

2

CD=1，
∴DF=

CD2-CF2

=

3

；（5分）

（3）连接OE，由（2）同理可知CE=2，
∴CF=1，∴EF=1，
∴S_{直角梯形FDOE}=

1

2

（EF+OD）·DF=

3 3

2

，
∴S_扇形OED=

60π×22

360

=

2π

3

，
∴S_阴影=S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED=

3 3

2

-

2π

3

．
证明：（1）连接DO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF为⊙O的切线；

（2）∵△OAD是等边三角形，
∴AD=AO=

1

2

AB=2，
∴CD=AC-AD=2，
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=

1

2

CD=1，
∴DF=

CD2-CF2

=

3

；（5分）

（3）连接OE，由（2）同理可知CE=2，
∴CF=1，∴EF=1，
∴S_{直角梯形FDOE}=

1

2

（EF+OD）·DF=

3 3

2

，
∴S_扇形OED=

60π×22

360

=

2π

3

，
∴S_阴影=S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED=

3 3

2

-

2π

3

．