试题

如图在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．
（1）试说明：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为4，求圆中阴影部分的面积．

解：（1）∵OB=OE，
∴∠BEO=∠EBO，
∵BE平分∠CBO，
∴∠EBO=∠CBE，
∴∠BEO=∠CBE，
∴EO∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠AEO=∠C=90°，
则AC是圆O的切线；

（2）在Rt△AEO中，∠A=30°，OE=4，
∴OA=2OE=8，∠AOE=60°，
根据勾股定理得：AE=

OA2-OE2

=4

3

，
则S_阴影=S_△AOE-S_扇形EOD=

1

2

×4×4

3

-

60π×42

360

=8

3

-

8π

3

．
解：（1）∵OB=OE，
∴∠BEO=∠EBO，
∵BE平分∠CBO，
∴∠EBO=∠CBE，
∴∠BEO=∠CBE，
∴EO∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠AEO=∠C=90°，
则AC是圆O的切线；

（2）在Rt△AEO中，∠A=30°，OE=4，
∴OA=2OE=8，∠AOE=60°，
根据勾股定理得：AE=

OA2-OE2

=4

3

，
则S_阴影=S_△AOE-S_扇形EOD=

1

2

×4×4

3

-

60π×42

360

=8

3

-

8π

3

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