试题

（2013·黄冈模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于AD，OA=2．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD+OC=9，求CD的长．（结果保留根号）

证明：（1）连结OD．
∵AD∥OC，
∴∠1=∠2，∠A=∠3．
∵OA=OD，
∴∠A=∠1，
∴∠2=∠3，
∴在△ODC与△OBC中，

OD=OB ∠2=∠3 OC=OC

，
∴△ODC≌△OBC（SAS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，即OD⊥CD．
又OD是圆O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）连结BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠OBC=90°，∴∠ADB=∠OBC
又∠A=∠3，∴△ADB∽△OBC
∴

AD

OB

=

AB

OC

，AD·OC=OB·AB=2×4=8；
又AD+OC=9，
∴AD、OC是关于x的方程x²-9x+8=0的两个根．
∵OC＞OD，∴OC=8，AD=1，OD=2，
∴CD=

OC2-OD2

=

64-4

=2

15

证明：（1）连结OD．
∵AD∥OC，
∴∠1=∠2，∠A=∠3．
∵OA=OD，
∴∠A=∠1，
∴∠2=∠3，
∴在△ODC与△OBC中，

OD=OB ∠2=∠3 OC=OC

，
∴△ODC≌△OBC（SAS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，即OD⊥CD．
又OD是圆O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）连结BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠OBC=90°，∴∠ADB=∠OBC
又∠A=∠3，∴△ADB∽△OBC
∴

AD

OB

=

AB

OC

，AD·OC=OB·AB=2×4=8；
又AD+OC=9，
∴AD、OC是关于x的方程x²-9x+8=0的两个根．
∵OC＞OD，∴OC=8，AD=1，OD=2，
∴CD=

OC2-OD2

=

64-4

=2

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