试题

（2013·平顶山三模）在直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，OA=4

3

，以OA为直径作⊙M，点C在⊙M上，且∠AOC=45°，四边形ABCD为平行四边形．
（1）求证：BC为⊙M的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

（1）证明：
连接CM，
∵OM=CM，∠AOC=45°，
∴∠AOC=∠OCM=45°，
∴∠CMA=45°+45°=90°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC∥OA，
∴∠BCM=180°-90°=90°，
∴MC⊥BC，
∵MC是半径，
∴BC是⊙M的切线；
（2）∵OA=4

3

，
∴CM=2

3

，
∴S_{四边形ABCD}=OA·CM=4

3

×2

3

=24，
∵S_△COM=

1

2

×CM·OM=6，S_扇形CMA=

1

4

×π×12=3π，
∴图中阴影部分的面积=24-6-3π=18-3π．
（1）证明：
连接CM，
∵OM=CM，∠AOC=45°，
∴∠AOC=∠OCM=45°，
∴∠CMA=45°+45°=90°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC∥OA，
∴∠BCM=180°-90°=90°，
∴MC⊥BC，
∵MC是半径，
∴BC是⊙M的切线；
（2）∵OA=4

3

，
∴CM=2

3

，
∴S_{四边形ABCD}=OA·CM=4

3

×2

3

=24，
∵S_△COM=

1

2

×CM·OM=6，S_扇形CMA=

1

4

×π×12=3π，
∴图中阴影部分的面积=24-6-3π=18-3π．