试题

（2013·三元区质检）已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB延长线上，∠BCD=∠A=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OC⊥AB，AC=4，求CD的长．

解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：
如图，∵∠A=30°，
∴∠COB=2∠A=60°．
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB=60°．
又∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，即OC⊥CD．
又∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切；

（2）如图，∵OC⊥AB，
∴AC=BC=4．
∵由（1）知，△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=4．
又由（1）知，∠OCD=90°，∠COD=60°，
∴CD=OC·tan60°=4×

3

=4

3

，即线段CD的长度是4

3

．
解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：
如图，∵∠A=30°，
∴∠COB=2∠A=60°．
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB=60°．
又∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，即OC⊥CD．
又∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切；

（2）如图，∵OC⊥AB，
∴AC=BC=4．
∵由（1）知，△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=4．
又由（1）知，∠OCD=90°，∠COD=60°，
∴CD=OC·tan60°=4×

3

=4

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，即线段CD的长度是4

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