试题

（2013·新民市一模）如图△ABC中，AB=AC，O为AB上的一点，⊙O经过点B且与AC相切于F点，⊙O与BC相交于点D，作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE为⊙O的切线．
（2）如果CE=2，AF=3，求⊙O的半径．

（1）证明：如图，连接OD．
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB．
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED=90°，即OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线．

（2）如图，连接OF．设⊙O的半径是r．
∵AC与⊙O相切，
∴OF⊥AC．
∴∠OFE=∠FED=∠ODE=90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∴OD=EF=r，∠FOD=90°．
∵AB=AC，∴AO+r=AF+EF+FC=3+r+2=5+r．
∴AO=5．
在Rt△AFO中，根据勾股定理知，OF=

OA2-AF2

=

52-32

=4，即r=4，
∴⊙O的半径是4．
（1）证明：如图，连接OD．
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB．
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED=90°，即OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线．

（2）如图，连接OF．设⊙O的半径是r．
∵AC与⊙O相切，
∴OF⊥AC．
∴∠OFE=∠FED=∠ODE=90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∴OD=EF=r，∠FOD=90°．
∵AB=AC，∴AO+r=AF+EF+FC=3+r+2=5+r．
∴AO=5．
在Rt△AFO中，根据勾股定理知，OF=

OA2-AF2

=

52-32

=4，即r=4，
∴⊙O的半径是4．