试题

（2013·鄞州区模拟）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AD⊥BC于D，以A为圆心，AD为半径画⊙O与AB、AC分别相交于点G、F，与CA的延长线交于点E，连接BE．
（1）求证：BE是⊙A的切线；
（2）连接DG、DF，判断四边形AGDF的形状，并说明理由．

（1）证明：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠EAB=60°=∠BAD，
∵在△AEB和△ADB中

AE=AD ∠EAB=∠DAB AB=AB

∴△AEB≌△ADB（SAS），
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即AE⊥BE，
∵AE为半径，
∴BE是⊙O的切线；

（2）解：四边形AGDF的形状是菱形．理由如下：
∵∠BAD=∠CAD=60°，AG=AD=AF，
∴△AGD、△AFD是等边三角形，
∴AG=GD=AD=DF=AF，
即AG=GD=DF=AF，
∴四边形AGDF是菱形．
（1）证明：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠EAB=60°=∠BAD，
∵在△AEB和△ADB中

AE=AD ∠EAB=∠DAB AB=AB

∴△AEB≌△ADB（SAS），
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即AE⊥BE，
∵AE为半径，
∴BE是⊙O的切线；

（2）解：四边形AGDF的形状是菱形．理由如下：
∵∠BAD=∠CAD=60°，AG=AD=AF，
∴△AGD、△AFD是等边三角形，
∴AG=GD=AD=DF=AF，
即AG=GD=DF=AF，
∴四边形AGDF是菱形．