试题

题目：
青果学院（2014·福鼎市模拟）如图，△ABC中，以BC为直径的半圆交AB于点D，且AC2=AD·AB．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）O为半圆的圆心，OE⊥BD，已知BE=3，AD=2，求∠B的度数．
答案
（1）证明：∵AC2=AD·AB，即
AC
AD
=
AB
AC
，
而∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ADC=∠ACB，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
而C是直径BC的端点，
∴CA是圆的切线；
（2）解：∵OE⊥BD，
∴DE=BE=3，
∴AB=BE+DE+AD=8，
∴AC2=AD·AB=16，
∴AC=4，
在Rt△ABC中，sinB=
AC
AB
=
1
2
，
∴∠B=30°．
（1）证明：∵AC2=AD·AB，即
AC
AD
=
AB
AC
，
而∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ADC=∠ACB，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
而C是直径BC的端点，
∴CA是圆的切线；
（2）解：∵OE⊥BD，
∴DE=BE=3，
∴AB=BE+DE+AD=8，
∴AC2=AD·AB=16，
∴AC=4，
在Rt△ABC中，sinB=
AC
AB
=
1
2
，
∴∠B=30°．
考点梳理
切线的判定；相似三角形的判定与性质．
（1）先根据三角形相似的判定由AC2=AD·AB得到△ACD∽△ABC，则∠ADC=∠ACB，再根据圆周角定理得到∠BDC=90°，所以∠ACB=90°，然后根据切线的判定得到CA是圆的切线；
（2）先根据垂径定理得DE=BE=3，则AB=8，再利用AC2=AD·AB计算出AC，然后根据正弦的定义求∠B的度数．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理和三角形相似的判定与性质．
证明题．
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