试题

（2001·河南）如图，在直角坐标系中，以（a，0）为圆心的O′与x轴交于C、D两点，与y轴交于A、B两点，连接AC．
（1）点E在AB上，EA=EC，求证：AC²=AE·AB；
（2）在（1）的结论下，延长EC到F，连接FB，若FB=FE，试判断FB与⊙O′的位置关系，并说明理由；
（3）如果a=2，⊙O′的半径为4，求（2）中直线FB的解析式．

（1）证明：连接BC，∵EA=EC，
∴∠A=∠ACE，
∵AB⊥CD，
∴AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∴∠ACE=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△ACE∽△ABC，
∴AC：AB=EC：AC，
∴AC²=AE·AB；

（2）解：连接O′B，BD，
∵FB=FE，
∴∠FBE=∠FEB，
∵∠ODB=∠ABC，
∵∠ODB=∠O′BD，
∴∠A=∠ABC，
∴∠BEF=∠A+∠ACE，
∴∠FBC=∠O′BD，
∵∠DBC=90°，
∴∠O′BF=90°，
∴FB与⊙O′相切；

（3）解：O′B=

16-4

=2

3

，B（0，-2

3

），
∵DC⊥AB，
∴O为AB的中点，
即AO=OB=2

3

，
∴EA=EC=OA-OE，
设OE的长为x，则EC=2

3

-x，
在Rt△OCE中4+x²=(2

3

-x)2，x=

2

3

3

，
过点F作FG⊥BE，
∵EB=OB+OE=2

3

+

2

3

3

=

8 3

3

，且FB=FE，
∴GB=

1

2

EB=

4 3

3

，∴OG=OB=GB=

2 3

3

，
∵OC∥FG，
∴

OC

FG

=

EO

EG

，即

2

FG

=

2 3 3

4 3 3

，
解得FG=4，
∴F（-4，-

2

3

3

），
直线PB的解析式为y=kx+b，将B（0，-2

3

），F（-4，-

2

3

3

）代入得y=-

3

3

x-2

3

．
（1）证明：连接BC，∵EA=EC，
∴∠A=∠ACE，
∵AB⊥CD，
∴AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∴∠ACE=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△ACE∽△ABC，
∴AC：AB=EC：AC，
∴AC²=AE·AB；

（2）解：连接O′B，BD，
∵FB=FE，
∴∠FBE=∠FEB，
∵∠ODB=∠ABC，
∵∠ODB=∠O′BD，
∴∠A=∠ABC，
∴∠BEF=∠A+∠ACE，
∴∠FBC=∠O′BD，
∵∠DBC=90°，
∴∠O′BF=90°，
∴FB与⊙O′相切；

（3）解：O′B=

16-4

=2

3

，B（0，-2

3

），
∵DC⊥AB，
∴O为AB的中点，
即AO=OB=2

3

，
∴EA=EC=OA-OE，
设OE的长为x，则EC=2

3

-x，
在Rt△OCE中4+x²=(2

3

-x)2，x=

2

3

3

，
过点F作FG⊥BE，
∵EB=OB+OE=2

3

+

2

3

3

=

8 3

3

，且FB=FE，
∴GB=

1

2

EB=

4 3

3

，∴OG=OB=GB=

2 3

3

，
∵OC∥FG，
∴

OC

FG

=

EO

EG

，即

2

FG

=

2 3 3

4 3 3

，
解得FG=4，
∴F（-4，-

2

3

3

），
直线PB的解析式为y=kx+b，将B（0，-2

3

），F（-4，-

2

3

3

）代入得y=-

3

3

x-2

3

．