试题

题目：
青果学院已知，如图，在△ADC中，∠ADC=90°，∠A=60°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，BF=FC．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AE=
3
，求⊙O的半径．
答案
青果学院（1）证明：连接OF，如图，
∵∠ADC=90°，∠A=60°
∴∠C=30°，
∵OC=OF，
∴∠C=∠OFC=30°，
∴∠BOF=∠C+∠OCF=60°，
∵BF=FC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠OFB=180°-∠B-∠BOF=90°，
∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AFE=∠B+∠C=60°，∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=
3
，
∵∠ADC=90°，即OD⊥AD，
∴ED与⊙O相切于D，
∴EF=ED=
3
，
∴AD=2
3
，
∴CD=
3
AD=6，
∴⊙O的半径是3．
青果学院（1）证明：连接OF，如图，
∵∠ADC=90°，∠A=60°
∴∠C=30°，
∵OC=OF，
∴∠C=∠OFC=30°，
∴∠BOF=∠C+∠OCF=60°，
∵BF=FC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠OFB=180°-∠B-∠BOF=90°，
∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AFE=∠B+∠C=60°，∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=
3
，
∵∠ADC=90°，即OD⊥AD，
∴ED与⊙O相切于D，
∴EF=ED=
3
，
∴AD=2
3
，
∴CD=
3
AD=6，
∴⊙O的半径是3．
考点梳理
切线的判定；等边三角形的判定与性质．
（1）连接OF，先根据三角形内角和定理计算出∠C=30°，再根据三角形外角性质得到∠BOF=∠C+∠OCF=60°，由BF=FC得到∠B=∠C=30°，则可计算出∠OFB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先证明△AEF是等边三角形，则EF=AE=
3
，再证明AD为⊙O切线，根据切线长定理得到EF=ED=
3
，所以AD=2
3
，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=
3
AD=6，即可得到⊙O的半径是3．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了切线长定理和含30度的直角三角形三边的关系．
证明题．
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