试题

题目：
青果学院如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，求CD的长．
答案
青果学院（1）证明：连结OD，如图，
∵∠ADE=60°，∠C=30°，
∴∠ADC=180°-∠ADE=120°，∠A=∠ADE-∠C=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=30°，
∴∠ODC=∠ADC-∠ODA=90°，
∴OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ODC中，∠C=30°，
∴OC=2OD，即OB+BC=2OD，
而OD=OB，BC=3，
∴OD+3=2OD，解得OD=3，
∴DC=
3
OD=3
3
．
青果学院（1）证明：连结OD，如图，
∵∠ADE=60°，∠C=30°，
∴∠ADC=180°-∠ADE=120°，∠A=∠ADE-∠C=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=30°，
∴∠ODC=∠ADC-∠ODA=90°，
∴OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ODC中，∠C=30°，
∴OC=2OD，即OB+BC=2OD，
而OD=OB，BC=3，
∴OD+3=2OD，解得OD=3，
∴DC=
3
OD=3
3
．
考点梳理
切线的判定．
（1）连结OD，根据邻补角和三角形外角性质可得到∠ADC=120°，∠A=30°，则∠ODA=30°，于是可计算出∠ODC=∠ADC-∠ODA=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由于在Rt△ODC中，∠C=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得OC=2OD，则可计算出OD=3，然后利用DC=
3
OD求解．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
证明题．
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