试题

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以OB为半径的⊙O的圆心在边AB上，⊙O与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=8，CD=12
（1）求BC及AB的长
（2）求证DE∥OC
（3）求半径OB及线段AE的长
（4）求OC的长．

解：（1）∵⊙O与AB相交于点B，与AC相切于点D，
∴BC=CD=12；
在Rt△ABC中，AC=AD+CD=8+12=20，BC=12，
∴AB=

202-122

=16，（2）∵⊙O与AB相交于点B，与AC相切于点D，
∴OB⊥BC，OD⊥AC，
而OB=OD，CD=CB，
∴Rt△OBC≌Rt△ODC，
∴∠BOC=∠DOC，
又∵∠BOD=∠ODE+∠OED，∠ODE=∠OED，
∴∠BOC=∠OED，
∴DE∥OC；
（3）∵∠A公共，∠ADB=∠ABC=90°，
∴Rt△AOD∽Rt△ACB，
∴OD：BC=AD：AB，即OD：8=12：16，
∴OD=6，
∴OB=6，
∴AE=AB-2OB=16-2×6=4；
（4）在Rt△OBC中，
OC²=OB²+BC²，
∴OC=

122+  62

=6

5

．
解：（1）∵⊙O与AB相交于点B，与AC相切于点D，
∴BC=CD=12；
在Rt△ABC中，AC=AD+CD=8+12=20，BC=12，
∴AB=

202-122

=16，（2）∵⊙O与AB相交于点B，与AC相切于点D，
∴OB⊥BC，OD⊥AC，
而OB=OD，CD=CB，
∴Rt△OBC≌Rt△ODC，
∴∠BOC=∠DOC，
又∵∠BOD=∠ODE+∠OED，∠ODE=∠OED，
∴∠BOC=∠OED，
∴DE∥OC；
（3）∵∠A公共，∠ADB=∠ABC=90°，
∴Rt△AOD∽Rt△ACB，
∴OD：BC=AD：AB，即OD：8=12：16，
∴OD=6，
∴OB=6，
∴AE=AB-2OB=16-2×6=4；
（4）在Rt△OBC中，
OC²=OB²+BC²，
∴OC=

122+  62

=6

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