试题

（2006·陕西）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4

3

，D是线段BC的中点．
（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．

（1）解：点D在⊙O上；理由如下：
设⊙O与BC交于点M，连接AM，
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，
在直角△ABM中，BM=AB·cos∠ABC=4×

3

2

=2

3

，
∵BC=4

3

，
∴M是BC的中点，则M与D重合．
∴点D在⊙O上；

（2）证明：
连接OD，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠EDO=90°，∠EDO=∠CED=90°
∴DE是⊙O的切线．
（1）解：点D在⊙O上；理由如下：
设⊙O与BC交于点M，连接AM，
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，
在直角△ABM中，BM=AB·cos∠ABC=4×

3

2

=2

3

，
∵BC=4

3

，
∴M是BC的中点，则M与D重合．
∴点D在⊙O上；

（2）证明：
连接OD，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠EDO=90°，∠EDO=∠CED=90°
∴DE是⊙O的切线．