试题

题目：
青果学院（2007·韶关）如图，AB是半⊙O的直径，弦AC与AB成30°的角，AC=CD．
（1）求证：CD是半⊙O的切线；
（2）若OA=2，求AC的长．
答案
青果学院（1）证明：连接OC．
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°．
又∵AC=CD，
∴∠A=∠D=30度．
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴CD是半⊙O的切线．

（2）解：连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，∵cosA=
AC
AB
，
∴AC=ABcos30°=4×
3
2
=2
3
，
∴AC=2
3
．
青果学院（1）证明：连接OC．
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°．
又∵AC=CD，
∴∠A=∠D=30度．
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴CD是半⊙O的切线．

（2）解：连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，∵cosA=
AC
AB
，
∴AC=ABcos30°=4×
3
2
=2
3
，
∴AC=2
3
．
考点梳理
切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．
要证明CD是半⊙O的切线只要证明∠OCD=90°即可；
根据三角函数即可求得AC的长．
此题考查学生对切线的判定及解直角三角形的综合运用．
综合题．
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