试题

题目：
青果学院如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠A=30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
答案
解：（1）连接OC，
青果学院
则OC=OA，
∵∠A=30°，CA=CD，
∴∠D=30°，∠ACO=30°，
∴∠ACD=180°-2∠A=120°，
∴∠OCD=120°-∠ACO=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵OC=3，∠D=30°，
∴CD=3
3
，∠COD=60°，
∴S阴影=S△OCD-S扇形OBC=
9
3
2
-
60π×32
360
=
9
3
-3π
2
．
解：（1）连接OC，
青果学院
则OC=OA，
∵∠A=30°，CA=CD，
∴∠D=30°，∠ACO=30°，
∴∠ACD=180°-2∠A=120°，
∴∠OCD=120°-∠ACO=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵OC=3，∠D=30°，
∴CD=3
3
，∠COD=60°，
∴S阴影=S△OCD-S扇形OBC=
9
3
2
-
60π×32
360
=
9
3
-3π
2
．
考点梳理
切线的判定；扇形面积的计算．
（1）连接OC，根据∠A=30°及等腰三角形的性质可求出OC⊥CD，继而可判断CD是⊙O的切线；
（2）根据S阴影=S△OCD-S扇形OBC，进行计算即可．
本题考查了切线的判定、含30°角的直角三角形的性质，在求解不规则图形的面积时，注意转变思想的运用．
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