试题

如图所示，已知AB是半圆O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC，交DC的延长线于点E，交半圆O于点F，且C为

BF

的中点．
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）若∠D=30°，求证：∠CAE=∠BCD．

证明：（1）连接BF，OC．
∵C为弧BF的中点，
∴OC⊥BF，
又∵AB是半圆O的直径，
∴BF⊥AE，
∴BF∥CE，
∴OC⊥DE，
∴DE是半圆O的切线；

（2）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°，
又∵直角△ACE中，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠EAC=∠BCD．
证明：（1）连接BF，OC．
∵C为弧BF的中点，
∴OC⊥BF，
又∵AB是半圆O的直径，
∴BF⊥AE，
∴BF∥CE，
∴OC⊥DE，
∴DE是半圆O的切线；

（2）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°，
又∵直角△ACE中，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠EAC=∠BCD．