试题

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，证明：四边形OECD是平行四边形；
（3）若

CF

OF

=n，求tan∠ACO的值．

（1）证明：连接BD，OD，
∵AB是直径，
∴BD⊥AC．
∵E是BC的中点，
∴EB=EC=DE，
∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
∴∠ODE=∠ABC=90°．
∴DE是⊙O的切线．

（2）证明：连接OE，
∵E是BC的中点，OF=CF，
∴EF是△OBC的中位线．
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

CD

AC

=

CE

CB

=

1

2

．
∵AO=BO，E是BC的中点，
∴OE∥AC且

OE

AC

=

1

2

．
∴OE=CD，
∴四边形OECD是平行四边形．

（3）解：作OH⊥AC，垂足为H，不妨设OE=1，
∵

CF

OF

=n，△OEF∽△CDF，
∴CD=n，
∵OE=1，
∴AC=2．
∴AD=2-n，由△CDB∽△BDA，得BD²=AD·CD．
∴BD²=n·（2-n），BD=

2n-n2

．
∴OH=

1

2

BD=

2n-n2

2

，而CH=n+

2-n

2

=

2+n

2

．
∴tan∠ACO=

OH

CH

=

2n-n2

n+2

．
（1）证明：连接BD，OD，
∵AB是直径，
∴BD⊥AC．
∵E是BC的中点，
∴EB=EC=DE，
∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
∴∠ODE=∠ABC=90°．
∴DE是⊙O的切线．

（2）证明：连接OE，
∵E是BC的中点，OF=CF，
∴EF是△OBC的中位线．
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

CD

AC

=

CE

CB

=

1

2

．
∵AO=BO，E是BC的中点，
∴OE∥AC且

OE

AC

=

1

2

．
∴OE=CD，
∴四边形OECD是平行四边形．

（3）解：作OH⊥AC，垂足为H，不妨设OE=1，
∵

CF

OF

=n，△OEF∽△CDF，
∴CD=n，
∵OE=1，
∴AC=2．
∴AD=2-n，由△CDB∽△BDA，得BD²=AD·CD．
∴BD²=n·（2-n），BD=

2n-n2

．
∴OH=

1

2

BD=

2n-n2

2

，而CH=n+

2-n

2

=

2+n

2

．
∴tan∠ACO=

OH

CH

=

2n-n2

n+2

．