试题

在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，过D作DF⊥AC，垂足为F，连接BF交⊙O于E，求证：（1）DF是⊙O的切线；（2）BF：AF=FC：EF．

证明：（1）连接AD，DO，
∵AB为直径作⊙O交BC于D，
∴∠ADB=90°，（直径所对圆周角等于90°）
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵O为AB中点，D为BC中点，
∴DO∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；

（2）设AC与⊙O交于一点G，
∵AF，FB都为⊙O的割线，
∴FG·FA=FE·FB，
∴

BF

AF

=

FG

EF

，
∵∠ABC=∠DGC，（圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角）
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠DGC，
∴DG=DC，
∵DF⊥AC，
∴FC=FG，
∴

BF

AF

=

FC

AF

，
即BF：AF=FC：EF．
证明：（1）连接AD，DO，
∵AB为直径作⊙O交BC于D，
∴∠ADB=90°，（直径所对圆周角等于90°）
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵O为AB中点，D为BC中点，
∴DO∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；

（2）设AC与⊙O交于一点G，
∵AF，FB都为⊙O的割线，
∴FG·FA=FE·FB，
∴

BF

AF

=

FG

EF

，
∵∠ABC=∠DGC，（圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角）
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠DGC，
∴DG=DC，
∵DF⊥AC，
∴FC=FG，
∴

BF

AF

=

FC

AF

，
即BF：AF=FC：EF．