试题

题目：
青果学院（2009·西宁）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，⊙O交BC于D，DE⊥AC于E．
（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并证明；
（2）连接AD，若⊙O的半径为
5
2
，AD=3，求DE的长．
答案
青果学院（1）解：DE与⊙O相切，
证明：连接AD、OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴BD=DC，
又∵OB=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：若⊙O的半径为
5
2
，则AB=AC=5，
在Rt△ADC中，AD=3，AC=5，
∴DC=
52-32
=4，
又∵AC·DE=AD·DC，
∴DE=
AD·DC
AC
=
3×4
5
=
12
5
．
青果学院（1）解：DE与⊙O相切，
证明：连接AD、OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴BD=DC，
又∵OB=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：若⊙O的半径为
5
2
，则AB=AC=5，
在Rt△ADC中，AD=3，AC=5，
∴DC=
52-32
=4，
又∵AC·DE=AD·DC，
∴DE=
AD·DC
AC
=
3×4
5
=
12
5
．
考点梳理
切线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理．
（1）要判断DE是⊙O的切线，只要证明DE垂直于过切点的半径，即DE⊥OD即可；
（2）有Rt△ADC中根据勾股定理求出DC，根据△ACD∽△DCE，对应边的比相等，就可以求出DE．
本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
几何综合题．
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