试题

题目：
青果学院（2010·密云县）如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求sin∠E的值．
答案
青果学院（1）证明：方法1：连接OD、CD．
∵BC是直径，
∴CD⊥AB．
∵AC=BC．
∴D是AB的中点．
∵O为CB的中点，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF．
∴EF是O的切线．
方法2：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．
即∠EDO=90°，
∴OD⊥ED
∴EF是O的切线．

（2）解：连BG．
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°．
∴CD=
AC2-AD2
=
102-62
=8．
∵AB·CD=2S△ABC=AC·BG，
∴BG=
AB·CD
AC
=
12×8
10
=
48
5
．
∴CG=
BC2-BG2
=
102-(
48
5
)2
=
14
5
．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴sin∠E=sin∠CBG=
CG
BC
=
14
5
10
=
7
25
．
青果学院（1）证明：方法1：连接OD、CD．
∵BC是直径，
∴CD⊥AB．
∵AC=BC．
∴D是AB的中点．
∵O为CB的中点，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF．
∴EF是O的切线．
方法2：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．
即∠EDO=90°，
∴OD⊥ED
∴EF是O的切线．

（2）解：连BG．
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°．
∴CD=
AC2-AD2
=
102-62
=8．
∵AB·CD=2S△ABC=AC·BG，
∴BG=
AB·CD
AC
=
12×8
10
=
48
5
．
∴CG=
BC2-BG2
=
102-(
48
5
)2
=
14
5
．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴sin∠E=sin∠CBG=
CG
BC
=
14
5
10
=
7
25
．
考点梳理
切线的判定；等腰三角形的性质；解直角三角形．
（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；
（2）根据∠E=∠CBG，可以把求sin∠E的值得问题转化为求sin∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题．
本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
几何综合题；压轴题．
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