试题

题目：
青果学院（2010·梧州）如图，⊙O的直径AC=13，弦BC=12．过点A作直线MN，使∠BAM=
1
2
∠AOB．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）延长CB交MN于点D，求AD的长．
答案
（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°．
∵∠BAM=
1
2
∠AOB=∠C，
∴∠BAM+∠BAC=90°，即∠CAM=90°．
∴MN是⊙O的切线．

（2）解：∵∠ABC=90°，AC=13，BC=12，
∴AB=5．
∵tanC=
AB
BC
=
AD
AC
，
∴
5
12
=
AD
13
，
∴AD=
65
12
．
（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°．
∵∠BAM=
1
2
∠AOB=∠C，
∴∠BAM+∠BAC=90°，即∠CAM=90°．
∴MN是⊙O的切线．

（2）解：∵∠ABC=90°，AC=13，BC=12，
∴AB=5．
∵tanC=
AB
BC
=
AD
AC
，
∴
5
12
=
AD
13
，
∴AD=
65
12
．
考点梳理
切线的判定．
（1）证MN⊥AC即可．由AC是直径得∠ABC=90°，从而有∠C+∠BAC=90°；因∠BAM=
1
2
∠AOB=∠C，所以∠BAM+∠BAC=90°，得证；
（2）根据勾股定理可求AB的长．由tanC=
AB
BC
=
AD
AC
可求AD．
此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，难度中等．
计算题；证明题；压轴题．
找相似题