试题

（2013·湖北）如图，以AB为直径的半圆O交AC于点D，且点D为AC的中点，DE⊥BC于点E，AE交半圆O于点F，BF的延长线交DE于点G．
（1）求证：DE为半圆O的切线；
（2）若GE=1，BF=

3

2

，求EF的长．

（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为半圆O的直径，D为AC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥DO，
又∵点D在圆上，
∴DE为半圆O的切线；

（2）解：∵AB为半圆O的直径，
∴∠AFB=90°，
而DE⊥BC，
∴∠GEB=∠GFE=90°，
∵∠BGE=∠EGF，
∴△BGE∽△EGF
∴

GE

GB

=

GF

GE

，
∴GE²=GF·GB=GF（GF+BF）
∵GE=1，BF=

3

2

，
∴GF=

1

2

，
在Rt△EGF中，EF=

GE2-GF2

=

3

2

．
（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为半圆O的直径，D为AC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥DO，
又∵点D在圆上，
∴DE为半圆O的切线；

（2）解：∵AB为半圆O的直径，
∴∠AFB=90°，
而DE⊥BC，
∴∠GEB=∠GFE=90°，
∵∠BGE=∠EGF，
∴△BGE∽△EGF
∴

GE

GB

=

GF

GE

，
∴GE²=GF·GB=GF（GF+BF）
∵GE=1，BF=

3

2

，
∴GF=

1

2

，
在Rt△EGF中，EF=

GE2-GF2

=

3

2

．