试题

题目：
青果学院（2013·淮安）如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．
（1）猜想直线MN与⊙0的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=6，cos∠ACD=
3
5
，求⊙0的半径．
答案
青果学院解：（1）直线MN与⊙0的位置关系是相切，
理由是：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAB=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴MN是⊙O切线；

（2）∵CD=6，cos∠ACD=
DC
AC
=
3
5
，
∴AC=10，由勾股定理得：AD=8，
∵AB是⊙O直径，AD⊥MN，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴
AD
AC
=
AC
AB
，
∴
8
10
=
10
AB
，
∴AB=12.5，
∴⊙O半径是
1
2
×12.5=6.25．
青果学院解：（1）直线MN与⊙0的位置关系是相切，
理由是：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAB=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴MN是⊙O切线；

（2）∵CD=6，cos∠ACD=
DC
AC
=
3
5
，
∴AC=10，由勾股定理得：AD=8，
∵AB是⊙O直径，AD⊥MN，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴
AD
AC
=
AC
AB
，
∴
8
10
=
10
AB
，
∴AB=12.5，
∴⊙O半径是
1
2
×12.5=6.25．
考点梳理
切线的判定；解直角三角形．
（1）连接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AD、AB长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
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