试题

（2013·沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．
（1）求证：ON是⊙A的切线；
（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

（1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，
∵⊙A与OM相切与点B，
∴AB⊥OM，
∵OC平分∠MON，
∴AF=AB=2，
∴ON是⊙A的切线；

（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，
∴∠OEB=30°，
∴AF⊥ON，
∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE=

FE

AF

，
∴EF=AF·tan60°=2

3

，
∴S_阴影=S_△AEF-S_扇形ADF=

1

2

AF·EF-

60

360

×π×AF²=2

3

-

2

3

π．
（1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，
∵⊙A与OM相切与点B，
∴AB⊥OM，
∵OC平分∠MON，
∴AF=AB=2，
∴ON是⊙A的切线；

（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，
∴∠OEB=30°，
∴AF⊥ON，
∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE=

FE

AF

，
∴EF=AF·tan60°=2

3

，
∴S_阴影=S_△AEF-S_扇形ADF=

1

2

AF·EF-

60

360

×π×AF²=2

3

-

2

3

π．