试题

题目：
青果学院（2012·广元）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB=3，∠ABE=60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积．
答案
青果学院解：（1）连接OE．
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OE，
∴∠DAE=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∴∠DAE=∠EAO，
∴AE平分∠DAC；

（2）①∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABE=60°，
∴∠EAO=30°，
∴∠DAE=∠EAO=30°，
∵AB=3，
∴AE=AB·cos30°=3×
3
2
=
3
3
2
，BE=
1
2
AB=
3
2
，
在Rt△ADE中，
∵∠DAE=30°，AE=
3
3
2
，
∴AD=AE·cos30°=
3
3
2
×
3
2
=
9
4
；
②∵∠EAO=∠AEO=30°，
∴∠AOE=180°-∠EAO-∠AEO=180°-30°-30°=120°，
∵OA=OB，
∴S△AOE=S△BOE=
1
2
S△ABE，
∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=S扇形AOE-
1
2
S△ABE=
120π×(
3
2
)2
360
-
1
2
×
1
2
×
3
3
2
×
3
2
=
3π
4
-
9
3
16
．
青果学院解：（1）连接OE．
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OE，
∴∠DAE=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∴∠DAE=∠EAO，
∴AE平分∠DAC；

（2）①∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABE=60°，
∴∠EAO=30°，
∴∠DAE=∠EAO=30°，
∵AB=3，
∴AE=AB·cos30°=3×
3
2
=
3
3
2
，BE=
1
2
AB=
3
2
，
在Rt△ADE中，
∵∠DAE=30°，AE=
3
3
2
，
∴AD=AE·cos30°=
3
3
2
×
3
2
=
9
4
；
②∵∠EAO=∠AEO=30°，
∴∠AOE=180°-∠EAO-∠AEO=180°-30°-30°=120°，
∵OA=OB，
∴S△AOE=S△BOE=
1
2
S△ABE，
∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=S扇形AOE-
1
2
S△ABE=
120π×(
3
2
)2
360
-
1
2
×
1
2
×
3
3
2
×
3
2
=
3π
4
-
9
3
16
．
考点梳理
切线的性质；扇形面积的计算．
（1）连接OE，由切线的性质可知，OE⊥CD，再根据AD⊥CD可知AD∥OE，故∠DAE=∠AEO，再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出结论；
（2）①先根据∠ABE=60°求出∠EAO的度数，进而得出∠DAE的度数，再根据锐角三角函数的定义求出AE及BE的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义即可得出AD的长；
②由三角形内角和定理求出∠AOE的度数，再根据OA=OB可知S△AOE=S△BOE=
1
2
S△ABE求出△AOE的面积，由S阴影=S扇形AOE-S△AOE即可得出结论．
本题考查的是切线的性质及扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
压轴题；探究型．
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