试题

题目：
青果学院（2012·梧州）如图，AB是⊙O的直径，CO⊥AB于点O，CD是⊙O的切线，切点为D．连接BD，交OC于点E．
（1）求证：∠CDE=∠CED；
（2）若AB=13，BD=12，求DE的长．
答案
（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，切点为D．
∴∠ODC=90°，
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，
∵OC⊥AB，
∴∠CED=∠OEB=90°-∠B，青果学院
∵∠CDE=90°-∠ODB，
∴∠CDE=∠CED；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOD=90°，
∵AB=13，
∴OB=
13
2
，
∵∠ADB=∠BOE，∠B=∠B，
∴△ABD∽△EBO，
∴
AB
EB
=
DB
BO
．
∴
13
EB
=
12
13
2
，
∴EB=
169
24
，
∴DE=BD-EB=
119
24
．
（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，切点为D．
∴∠ODC=90°，
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，
∵OC⊥AB，
∴∠CED=∠OEB=90°-∠B，青果学院
∵∠CDE=90°-∠ODB，
∴∠CDE=∠CED；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOD=90°，
∵AB=13，
∴OB=
13
2
，
∵∠ADB=∠BOE，∠B=∠B，
∴△ABD∽△EBO，
∴
AB
EB
=
DB
BO
．
∴
13
EB
=
12
13
2
，
∴EB=
169
24
，
∴DE=BD-EB=
119
24
．
考点梳理
切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OD，利用切线的性质和圆的半径相等得到的等腰三角形即可证明∠CDE=∠CED；
（2）连接AD，利用圆周角定理和已知条件证明△ABD∽△EBO，利用相似三角形的性质即可求出EB的长，进而求出DE的长．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
压轴题．
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