试题

（2011·盐城）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

解：（1）连接OD．设⊙O的半径为r．
∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC．
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
∴

OD

AC

=

OB

AB

，即10r=6（10-r）．
解得r=

15

4

，
∴⊙O的半径为

15

4

．

（2）四边形OFDE是菱形．理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠B．
∵∠DEF=

1

2

∠DOB，
∴∠B=

1

2

∠DOB．
∵∠ODB=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠DOB=60°．
∵DE∥AB，
∴∠ODE=60°．
∵OD=OE．
∴OD=DE．
∵OD=OF，
∴DE=OF．
又∵DE∥OF，
∴四边形OFDE是平行四边形．
∵OE=OF，
∴平行四边形OFDE是菱形．
解：（1）连接OD．设⊙O的半径为r．
∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC．
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
∴

OD

AC

=

OB

AB

，即10r=6（10-r）．
解得r=

15

4

，
∴⊙O的半径为

15

4

．

（2）四边形OFDE是菱形．理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠B．
∵∠DEF=

1

2

∠DOB，
∴∠B=

1

2

∠DOB．
∵∠ODB=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠DOB=60°．
∵DE∥AB，
∴∠ODE=60°．
∵OD=OE．
∴OD=DE．
∵OD=OF，
∴DE=OF．
又∵DE∥OF，
∴四边形OFDE是平行四边形．
∵OE=OF，
∴平行四边形OFDE是菱形．