试题

题目：
青果学院（2013·贺州）已知：⊙O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M．
（1）求证：点P是线段AC的中点；
（2）求sin∠PMC的值．
答案
（1）证明：连结OM，如图，青果学院
∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M，
∴PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，
∴∠OMP=90°，∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，
而∠2=∠B，
∴∠1=∠C，
∴PC=PM，
∴PA=PC，
∴点P是线段AC的中点；

（2）解：由（1）∠PMC=∠C，
在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，
∴BC=
AB2+AC2
=5，
∴sin∠C=
AB
BC
=
3
5
，
即sin∠PMC=
3
5
．
（1）证明：连结OM，如图，青果学院
∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M，
∴PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，
∴∠OMP=90°，∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，
而∠2=∠B，
∴∠1=∠C，
∴PC=PM，
∴PA=PC，
∴点P是线段AC的中点；

（2）解：由（1）∠PMC=∠C，
在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，
∴BC=
AB2+AC2
=5，
∴sin∠C=
AB
BC
=
3
5
，
即sin∠PMC=
3
5
．
考点梳理
切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．
（1）连结OM，根据切线的性质得OM⊥MP，BA⊥AC，根据切线长定理得PM=PA，则∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，而∠2=∠B，所以∠1=∠C，于是得到PC=PM，则PA=PC；
（2）由于∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，先根据勾股定理计算出BC=5，然后根据正弦的定义得到sin∠C=
AB
BC
=
3
5
，于是得到sin∠PMC的值．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了切线长定理、勾股定理以及解直角三角形．
证明题；压轴题．
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