试题

题目：
青果学院如图，设半圆的圆心O在直角△ABC的斜边AB上，且与两直角边相切于D、E，若△ABC的面积为S，斜边长为c，则圆的半径为
2S
c2+4S
2S
c2+4S
．
答案
2S
c2+4S

青果学院解：连OD，OE，OC，如图，
∵D，E为切点，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
设AC=b，BC=a，OD=OE=R，
∵S△ABC=S△AOC+S△BOC，
∴
1
2
bR+
1
2
aR=S，
∴a+b=
2S
R
，
又∵a2+b2=c2，
∴（a+b）2=c2+2ab，
∴a+b=
c2+4S
，
∴
2S
R
=
c2+4S
，
∴R=
2S
c2+4S
．
故答案为：
2S
c2+4S
．
考点梳理
切线的性质；三角形的面积；勾股定理．
连OD，OE，OC，根据切线性质得OD⊥AC，OE⊥BC，设AC=b，BC=a，OD=OE=R，则S△ABC=S△AOC+S△BOC，即
1
2
bR+
1
2
aR=S，
得到a+b=
2S
R
，再利用勾股定理得到a+b=
c2+4S
，这样就可求得R的值．
本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线，过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，也考查了三角形的面积公式和勾股定理以及代数式的变形能力．
计算题．
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