试题

题目：
（2010·卢湾区一模）如图，A，B，C三点在同一平面内，从山脚缆车站A测得山顶C的仰角为45°，测得另一缆青果学院车站B的仰角为30°，AB间缆绳长500米（自然弯曲忽略不计）．（
3
≈1.73，精确到1米）
（1）求缆车站B与缆车站A间的垂直距离；
（2）乘缆车达缆车站B，从缆车站B测得山顶C的仰角为60°，求山顶C与缆车站A间的垂直距离．
答案
青果学院解：
（1）过B作BD⊥AM于点D．
在Rt△ADB中，sin∠BAD=
BD
AB
，
∵∠BAD=30°，AB=500，
∴BD=AB·sin30°=250．
即缆车站B与缆车站A间的垂直距离为250米；

（2）过C作CF垂直于坡底的水平线AM，垂足为点F，
过B作BE∥AF，交CF于点E．
设山顶C与缆车站B间的垂直距离CE=x，
在Rt△CBE中，∠CBE=60°，
∴BE=
CE
tan60°
=
3
3
x．
在Rt△ADB中，AD=AB·sin60°=250
3
，
在Rt△CAF中，∠CAF=45°，
∴AF=CF．
又AF=AD+DF=AD+BE=250
3
+
3
3
x，
∴x+250=250
3
+
3
3
x
解得x=250
3
，
CF=250
3
+250≈683．
答：山顶与缆车站A间的垂直距离约为683米．
青果学院解：
（1）过B作BD⊥AM于点D．
在Rt△ADB中，sin∠BAD=
BD
AB
，
∵∠BAD=30°，AB=500，
∴BD=AB·sin30°=250．
即缆车站B与缆车站A间的垂直距离为250米；

（2）过C作CF垂直于坡底的水平线AM，垂足为点F，
过B作BE∥AF，交CF于点E．
设山顶C与缆车站B间的垂直距离CE=x，
在Rt△CBE中，∠CBE=60°，
∴BE=
CE
tan60°
=
3
3
x．
在Rt△ADB中，AD=AB·sin60°=250
3
，
在Rt△CAF中，∠CAF=45°，
∴AF=CF．
又AF=AD+DF=AD+BE=250
3
+
3
3
x，
∴x+250=250
3
+
3
3
x
解得x=250
3
，
CF=250
3
+250≈683．
答：山顶与缆车站A间的垂直距离约为683米．
考点梳理
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
（1）利用30°的正弦值即可求得BD长；
（2）易得AF=CF，设CE为未知数，利用60°的正切值可求得BE长；利用AF=CF可求得CE长，加上（1）中BD长即为山顶C与缆车站A间的垂直距离．
考查仰角的定义，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是仰角问题常用的方法．
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