试题

“灾难无情人有情”，四川汶川发生大地震后，一批武警官兵奉命营救小山两侧A、B两地的被困人员，为了圆满完成空降任务，需知道小山高度及A、B两地的距离．已知当飞机飞至高空C处时，发现飞机与山顶P及村庄B在同一条直线上，且点A、B、C、P在同一平面内，并测得A、B两地的俯角分别为75°和30°，飞机离A地的距离AC=1400米，又知在A处观测山顶P的仰角为45°，求AB两地的距离及小山的高 （结果保留根号）．

解：过点A作AE⊥BC于E，过点P作PH⊥AB于H，
∵根据题意得：∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，
∴∠CAF=∠DCA=75°，∠BCA=∠DCA-∠BCA=45°，
∴∠B=∠CAF-∠BCA=75°-45°=30°，
∴AE=EC=AC·sin∠ECA=1400×

2

2

=700

2

（米）
∴AB=

AE

sin∠B

=

700 2

1 2

=1400

2

（米），
∴BE=AB·cos∠B=1400

2

×

3

2

=700

6

（米），
∴BC=BE+EC=700

6

+700

2

（米），
∵∠B=∠B，∠BAP=∠BCA=45°，
∴△ABP∽△CBA，
∴

AB

BC

=

PH

AE

，
∴

1400 2

700 6 +700 2

=

PH

700 2

，
解得：PH=700

6

-700

2

（米）．
∴AB=1400

2

米，山高为（700

6

-700

2

）米．
解：过点A作AE⊥BC于E，过点P作PH⊥AB于H，
∵根据题意得：∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，
∴∠CAF=∠DCA=75°，∠BCA=∠DCA-∠BCA=45°，
∴∠B=∠CAF-∠BCA=75°-45°=30°，
∴AE=EC=AC·sin∠ECA=1400×

2

2

=700

2

（米）
∴AB=

AE

sin∠B

=

700 2

1 2

=1400

2

（米），
∴BE=AB·cos∠B=1400

2

×

3

2

=700

6

（米），
∴BC=BE+EC=700

6

+700

2

（米），
∵∠B=∠B，∠BAP=∠BCA=45°，
∴△ABP∽△CBA，
∴

AB

BC

=

PH

AE

，
∴

1400 2

700 6 +700 2

=

PH

700 2

，
解得：PH=700

6

-700

2

（米）．
∴AB=1400

2

米，山高为（700

6

-700

2

）米．