试题

题目：
设x，y是大于零的实数，且
sinθ
x
=
cosθ
y
，
cos2θ
x2
+
sin2θ
y2
=
14
x2+y2
，则
x
y
+
y
x
=
4
4
．
答案
4

解：∵
sinθ
x
=
cosθ
y
，青果学院
∴
sinθ
cosθ
=
x
y
，而
sinθ
cosθ
=tanθ，
∴tanθ=
x
y
，
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=x，BC=y，
∴AB=
x2+y2
，
∴sinθ=
x
x2+y2
，cosθ=
y
x2+y2
，
而
cos2θ
x2
+
sin2θ
y2
=
14
x2+y2
，
∴
y2
x2+y2
·
1
x2
+
x2
x2+y2
·
1
y 2
=
14
x2+y2
，
∴
y2
x2
+
x2
y2
=14，
∴（
y
x
+
x
y
）2-2=14，
∴（
y
x
+
x
y
）2=16，
而x，y是大于零的实数，
∴
y
x
+
x
y
=4．
故答案为4．
考点梳理
互余两角三角函数的关系；比例的性质．
根据比例的性质由
sinθ
x
=
cosθ
y
得
sinθ
cosθ
=
x
y
，由三角函数的关系有
sinθ
cosθ
=tanθ，则tanθ=
x
y
，在△ABC中，∠C=90°，AC=x，BC=y，根据锐角三角函数的定义得到
sinθ=
x
x2+y2
，cosθ=
y
x2+y2
，则
cos2θ
x2
+
sin2θ
y2
=
14
x2+y2
可化为
y2
x2+y2
·
1
x2
+
x2
x2+y2
·
1
y 2
=
14
x2+y2
，化简后得
y2
x2
+
x2
y2
=14，配方后得到（
y
x
+
x
y
）2=16，然后两边开方取算术平方根即可．
本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值；一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；一锐角的正切等于它的对边与它的邻边的比值．也考查了勾股定理、完全平方公式以及比例的性质．
计算题．
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