试题

（2002·深圳）阅读材料，解答问题：
命题：如图，在锐角△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，△ABC的外接圆半径为R，则

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R．
证明：连接CO并延长交⊙O于点D，连接DB，则∠D=∠A．
因为CD是⊙O的直径，所以∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，sin∠D=

BC

DC

=

a

2R

，
所以sinA=

a

2R

，即

a

sinA

=2R，
同理：

b

sinB

=2R，

c

sinC

=2R，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
请阅读前面所给的命题和证明后，完成下面（1）（2）两题：
（1）前面阅读材料中省略了“

b

sinB

=2R，

c

sinC

=2R”的证明过程，请你把“

b

sinB

=2R”的证明过程补写出来．
（2）直接运用阅读材料中命题的结论解题，已知锐角△ABC中，BC=

3

，CA=

2

，∠A=60°，求△ABC的外接圆半径R及∠C．

（1）证明：连接CO并延长交⊙O于点D，连接DB，则∠A=∠D；
因为CD是⊙O的直径，
所以∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，
sin∠D=

BC

DC

=

b

2R

，
所以sinB=

b

2R

，即

b

sinB

=2R；

（2）解：由命题结论知

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴

3

sin60°

=

2

sinB

，
∴sinB=

2

2

；
∵BC＞CA，
∴∠A＞∠B，
∴∠B=45°，
∴∠C=75°．
由

3

sin60°

=2R，得R=1．
（1）证明：连接CO并延长交⊙O于点D，连接DB，则∠A=∠D；
因为CD是⊙O的直径，
所以∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，
sin∠D=

BC

DC

=

b

2R

，
所以sinB=

b

2R

，即

b

sinB

=2R；

（2）解：由命题结论知

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴

3

sin60°

=

2

sinB

，
∴sinB=

2

2

；
∵BC＞CA，
∴∠A＞∠B，
∴∠B=45°，
∴∠C=75°．
由

3

sin60°

=2R，得R=1．