试题

H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心．一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂．
求证：AA₁=AA₂=BB₁=BB₂=CC₁=CC₂．

证明：设BC=a，CA=b，AB=c，
△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r．
连HA₁，AH交EF于M，

AA₁²=AM²+A₁M²=AM²+r²-MH²
=r²+（AM²-MH²），①
又AM²-HM²=（

1

2

AH₁）²-（AH-

1

2

AH₁）²
=AH·AH₁-AH²=AH₂·AB-AH²
=cosA·bc-AH²，②
而

AH

sin∠ABH

=2R，
·AH²=4R²cos²A，

a

sinA

=2R，
·a²=4R²sin²A．
∴AH²+a²=4R²，AH²=4R²-a²．③
由①、②、③有
AA₁²=r²+

b2+c2-a2

2bc

·bc-（4R²-a²）
=

1

2

（a²+b²+c²）-4R²+r²．
同理，BB₁²=

1

2

（a²+b²+c²）-4R²+r²，CC₁²=

1

2

（a²+b²+c²）-4R²+r²．
故有AA₁=BB₁=CC₁．
证明：设BC=a，CA=b，AB=c，
△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r．
连HA₁，AH交EF于M，

AA₁²=AM²+A₁M²=AM²+r²-MH²
=r²+（AM²-MH²），①
又AM²-HM²=（

1

2

AH₁）²-（AH-

1

2

AH₁）²
=AH·AH₁-AH²=AH₂·AB-AH²
=cosA·bc-AH²，②
而

AH

sin∠ABH

=2R，
·AH²=4R²cos²A，

a

sinA

=2R，
·a²=4R²sin²A．
∴AH²+a²=4R²，AH²=4R²-a²．③
由①、②、③有
AA₁²=r²+

b2+c2-a2

2bc

·bc-（4R²-a²）
=

1

2

（a²+b²+c²）-4R²+r²．
同理，BB₁²=

1

2

（a²+b²+c²）-4R²+r²，CC₁²=

1

2

（a²+b²+c²）-4R²+r²．
故有AA₁=BB₁=CC₁．