试题

等腰Rt△ABC中，∠A=90°，点D和E为边BC上的点，且∠DAE=45°，△ADE的外接圆分别交边AB和AC于点P和Q，求证：BP+CQ=PQ．

证明：设O是△ADE外心，则O是PQ中点，PQ是直径．
连接PD、OD、OE，过Q作AC的垂线交BC于点F，连接PE，则四边形PBFQ是梯形，
∵△ABC中是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，∠C=45°，
∴△CQF是等腰直角三角形，
∴CQ=QF，
∵∠DAC与∠DOE分别是同弧DE所对的圆周角与圆心角，且∠DAE=45°，
∴∠DOE=2∠DAC=90°，
∴∠ODE=45°，
∴OD∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴线段OD是梯形PBFQ的中位线，
∴PQ=2OD=BP+QF，
∴BP+CQ=PQ．
证明：设O是△ADE外心，则O是PQ中点，PQ是直径．
连接PD、OD、OE，过Q作AC的垂线交BC于点F，连接PE，则四边形PBFQ是梯形，
∵△ABC中是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，∠C=45°，
∴△CQF是等腰直角三角形，
∴CQ=QF，
∵∠DAC与∠DOE分别是同弧DE所对的圆周角与圆心角，且∠DAE=45°，
∴∠DOE=2∠DAC=90°，
∴∠ODE=45°，
∴OD∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴线段OD是梯形PBFQ的中位线，
∴PQ=2OD=BP+QF，
∴BP+CQ=PQ．