试题
题目:
阅读理解题:
定义:如果一个数的平方等于-1,记为i
2
=-1,这个数i叫做虚数单位.那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,表示为a+bi(a,b为实数),a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.
例如计算:(2+i)+(3-4i)=5-3i.
(1)填空:i
3
=
-i
-i
,i
4
=
1
1
.
(2)计算:①(2+i)(2-i);②(2+i)
2
;
(3)若两个复数相等,则它们的实部和虚部必须分别相等,完成下列问题:已知:(x+y)+3i=(1-x)-yi,(x,y为实数),求x,y的值.
(4)试一试:请利用以前学习的有关知识将
1+i
1-i
化简成a+bi的形式.
答案
-i
1
解:(1)∵i
2
=-1,
∴i
3
=i
2
·i=-1·i=-i,
i
4
=i
2
·i
2
=-1·(-1)=1,
(2)①(2+i)(2-i)=-i
2
+4=1+4=5;
②(2+i)
2
=i
2
+4i+4=-1+4i+4=3+4i;
(3)∵(x+y)+3i=(1-x)-yi,
∴x+y=1-x,3=-y,
∴x=2,y=-3;
(4)
1+i
1-i
=
(1+i)(1+i)
(1-i)(1+i)
=
(1+i)
2
2
=
2i
2
=i
.
考点梳理
考点
分析
点评
专题
整式的混合运算.
(1)根据i
2
=-1,则i
3
=i
2
·i,i
4
=i
2
·i
2
,然后计算;
(2)根据平方差公式和完全平方公式计算,出现i
2
,化简为-1计算;
(3)把原式化简后,根据实部对应实部,虚部对应虚部列出方程,求得x,y的值;
(4)分子分母同乘以(1+i)后,把分母化为不含i的数后计算.
本题考查了平方差公式,完全平方公式,是信息给予题,解题步骤为:(1)阅读理解,发现信息;(2)提炼信息,发现规律;(3)运用规律,联想迁移;(4)类比推理,解答问题.
压轴题;阅读型;新定义.
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