试题

阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于-1，记为i²=-1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3-4i）=5-3i．
（1）填空：i³=，i⁴=．
（2）计算：①（2+i）（2-i）；②（2+i）²；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+y）+3i=（1-x）-yi，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将

1+i

1-i

化简成a+bi的形式．

解：（1）∵i²=-1，
∴i³=i²·i=-1·i=-i，
i⁴=i²·i²=-1·（-1）=1，

（2）①（2+i）（2-i）=-i²+4=1+4=5；
②（2+i）²=i²+4i+4=-1+4i+4=3+4i；

（3）∵（x+y）+3i=（1-x）-yi，
∴x+y=1-x，3=-y，
∴x=2，y=-3；

（4）

1+i

1-i

=

(1+i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=

(1+i)2

2

=

2i

2

=i．