试题

如图，
（1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP=
（2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长．
（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM·PN与PA·PB的大小关系，且写出比较过程．你能用一句话归纳你的发现吗？
（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD=

25

3

，求PC、PD的长．

解：（1）连接OP，过点P作CD⊥OP于点P，连接OD．
根据题意，得CD=8，OD=5．
根据垂径定理，得PD=4，
根据勾股定理，得OP=3；



（2）根据平行线的性质和垂线的性质，知O、P、Q三点共线．
根据（1）的求解方法，得OQ=4，则PQ=1或7；

（3）连接AM、BN．
∵∠A=∠N，∠M=∠B，
∴△APM∽△NPB，
∴

PA

PM

=

PN

PB

，
即PM·PN=PA·PB；

（4）作直径AB，根据相交弦定理，得PC·PD=PA·PB=（5-3）（5+3）=16，
又CD=

25

3

，
设PC=x，则PD=

25

3

-x，则有x（

25

3

-x）=16，
解，得x=3或x=

16

3

．
即PC=3或

16

3

，PD=

16

3

或3．