试题

题目：
青果学院如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，AD是直径，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于E，如果CE=
6
3
，AB=2，则BC=
1+
3
1+
3
．
答案
1+
3

解：连DC，OB，过A点作AF⊥BC，如图，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
又∵DE为⊙O的切线，
∴∠ADE=90°，青果学院
而AD为直径，
∴∠DCE=90°，则∠DAE=30°，
∵CE=
6
3
，
∴DC=
3
EC=
3
×
6
3
=
2
，
∴在Rt△ADC中，AD=2
2
，AC=
3
×
2
=
6
，
在△OAB中，OB=OA=
2
，AB=2，所以△OAB为等要直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACB=45°，
在Rt△ACF中，AC=
2
CF，所以CF=
2
2
×
6
=
3
，
在Rt△ABF中，AB=2BF，所以BF=
1
2
×2=1，
所以BC=BF+FC=
3
+1．
故答案为
3
+1．
考点梳理
圆周角定理；含30度角的直角三角形；相交弦定理．
连DC，过A点作AF⊥BC，由∠B=60°，得∠ADC=60°，再由AD为直径，DE为⊙O的切线，可得∠ADE=90°，∠DCE=90°，∠DAE=30°，
由CE=
6
3
，利用含30度的直角三角形的三边的关系即可求得DC=
3
EC=
3
×
6
3
=
2
，AD=2
2
，AC=
3
×
2
=
6
，而AB=2，由此可得到△OAB为等要直角三角形，则∠AOB=90°，∠ACB=45°；在Rt△ACF中，AC=
2
CF，所以CF=
2
2
×
6
=
3
，在Rt△ABF中，AB=2BF，所以BF=
1
2
×2=1，于是得到BC的长．
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆周角的推论：直径所对的圆周角为90度．以及含30度的直角三角形的三边的关系和等腰直角三角形三边的关系．
计算题．
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