试题

题目：
青果学院已知如图，等腰△ABC内接于⊙O，∠B=∠ACB=30°，弦AD交BC于E，AE=2，ED=4，则⊙O的半径为
2
3
2
3
．
答案
2
3

青果学院解：连接OA，OC，AO交BC于点F，则OA=OC，∠B=∠C，
∴AB=AC，
由圆周角定理知，∠O=2∠D=60°，
所以等腰△OAC是等边三角形，
有AB=AC=OA，
∵∠B=∠C，
∴AE⊥BC
∵AB=AC，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△ACE，
∴BE=CE，∠AEB=∠AEC，
∵∠AEB+∠AEC=180°，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴BF2=AB2-AF2，AF2+EF2=AE2，
由相交弦定理知，BE·CE=AE·ED=8，
而BE·CE=（BF+EF）（BF-EF）=BF2-EF2=AB2-AF2-EF2=AB2-AE2=AB2-4=8，
∴AB2=12，
∴半径等于2
3
．
考点梳理
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相交弦定理．
连接OA，OC，AO交BC于点F，根据已知和圆周角定理可证∠O=2∠D=60°，即证△OAC是等边三角形，可证△ABE≌△ACE，得到∠AEB=∠AEC=90°，由勾股定理和相交弦定理得BE·CE=（BF+EF）（BF-EF）=BF2-EF2=AB2-AF2-EF2=AB2-AE2=AB2-4=8，即可求AB2=12，半径等于2
3
．
本题利用了全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，相交弦定理求解．
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