试题

题目：
青果学院（2005·广州）如图，在直径为6的半圆
AB
上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP·AM+BP·BN的值为
36
36
．
答案
36

青果学院解：连接AN、BM，
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°．
∴BP2=MP2+BM2
∵AP·PM=BP·PN
原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+AP·PM+BP2+BP·PN
=AP2+BP2+2AP·PM
=AP2+MP2+BM2+2AP·PM
=BM2+（AP+PM）2=BM2+AM2=AB2=36．
考点梳理
相交弦定理；勾股定理；圆周角定理．
连接AN、BM，根据圆周角定理，由AB是直径，可证∠AMB=90°，由勾股定理知，BP2=MP2+BM2，由相交弦定理知，AP·PM=BP·PN，原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+AP·PM+BP2+BP·PN=AP2+BP2+2AP·PM=AP2+MP2+BM2+2AP·PM=AP2+（AP+PM）2=AP2+AM2=AB2=36．
本题利用了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解．
压轴题；动点型．
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